Vidi fonton por Eksponenta funkcio

{{polurinda}}
{{Matematikaj funkcioj}}

La '''eksponenta funkcio''', aŭ '''eksponencialo''', estas unu de la plej gravaj [[Funkcio (matematiko)|funkcioj]] en [[matematiko]]. Ĝi estas skribita kiel exp(''x'') aŭ ''e''<sup>''x''</sup>, kie ''e'' egalas proksimume al 2.71828183 kaj estas la [[E (matematiko)|bazo de la natura logaritmo]].

[[Dosiero:exp.svg|eta|250px|dekstre|La eksponenta funkcio <math>y = e^x</math>  proksimiĝas al 0 por negativaj ''x'', egalas al 1 por ''x''=0, kaj pligrandiĝas rapide al [[infinito]] por pozitivaj ''x''.]]

Kiel [[funkcio]] de la ''[[Reela nombro|reela]]'' variablo ''x'', la [[grafikaĵo]] de ''e''<sup>''x''</sup> estas ĉiam pozitiva (super la [[absciso]] (''x''-akso)) kaj rapide pligrandiĝas por ''x''>0. 

[[Inversa funkcio]] de eksponenta funkcio, la [[natura logaritmo]], ln(''x''), estas difinita por ĉiuj pozitivaj ''x''.

Iam, aparte en la [[naturscienco]], la termino '''eksponenta funkcio''' estas uzata por ĉiuj funkcioj laŭ la formo ''ka''<sup>''x''</sup>,
kie ''a''. nomata la ''bazo'', estas iu ajn pozitiva [[reela nombro]]. Ĉi tiu artikolo fokusiĝas pri la eksponenta funkcio kun bazo ''e''.

Ĝenerale, la [[variablo]] ''x'' povas esti reela aŭ [[Kompleksa nombro|kompleksa]] nombro, aŭ eĉ de tute alia speco de matematika objekto; vidi la formalan difinon pli sube.

==Proprecoj==

Uzanta la naturan logaritmon, oni povas difini pli ĝeneralajn eksponentajn funkciojn. La funkcio
: <math>\!\, a^x=e^{x \ln a}</math>
difinita por iu ajn ''a'' > 0, kaj iuj ajn reelaj nombroj ''x'', nomiĝas '''eksponenta funkcio kun bazo''' '''''a'''''.

Notu ke la [[ekvacio]] pli supre evidente veras ankaŭ por ''a'' = ''e'', ĉar
: <math>\!\, e^{x \ln e}=e^{x \left(1\right)}=e^x.</math>

La proprecoj:
: <math>\!\, a^0 = 1</math>
: <math>\!\, a^1 = a</math>
: <math>\!\, a^{x + y} = a^x a^y</math>
: <math>\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y</math>
: <math>\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}</math>
: <math>\!\, a^x b^x = (a b)^x</math>

Ĉi tiuj formuloj estas validaj por ĉiuj pozitivaj reelaj nombroj ''a'' kaj ''b'' kaj ĉiuj reelaj nombroj ''x'' kaj ''y''.

Esprimoj enigantaj [[Frakcio (matematiko)|frakciojn]] kaj [[Radiko (matematiko)|radikojn]] povas ofte esti simpligitaj per la skribmaniero de eksponenta funkcio,  ĉar:
: <math>{1 \over a} = a^{-1}</math>
kaj, por ĉiu ''a'' > 0, [[reela nombro|reelaj nombroj]] ''b'', kaj [[entjero]]j ''n''&nbsp;>&nbsp;1:
: <math>\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n} \ .</math>

Por iu ajn reala konstanto ''c'', la sekvanta formulo validas:
: <math> f'(0)=\lim_{h \to 0}\frac{e^{ch}-1}{h}=c</math>
pri :   <math> \; \ f(h)=e^{ch}  \ .</math>

==Derivaĵoj kaj diferencialaj ekvacioj==
[[Dosiero:Exp tangent.svg|eta|250px|dekstre| Pri iu ajn punkto, la derivaĵo de la eksponenta funkcio egalas al la valoro de la funkcio. De punkto P sur la blua kurbo, [[tanĝanto|tanĝanta linio]] (ruĝa), kaj vertikala linio (verda) estas montritaj, tial triangulo estas kreita; se la bazo de la triangulo (verda) estas 1, pri tiu punkto, la derivaĵo egalas al la [[tangento]] de la angulo, kiu estas la alto de la triangulo, do ankaŭ la valoro de la funkcio.]]
La graveco de eksponentaj funkcioj en matematiko kaj en sciencoj originas ĉefe pro propreco de iliaj [[Derivaĵo (matematiko)|derivaĵoj]], aparte:
: <math>{d \over dx} e^x = e^x</math>

Tio estas, ''e''<sup>''x''</sup> estas sia propra [[Derivaĵo (matematiko)|derivaĵo]], propreco unika inter reelaj funkcioj de reela varianto. 

Oni povas skribi alimaniere ke
*la deklivo de la [[tanĝanto]] je la kurbo pri iu ajn punkto egalas la valoron de la funkcio je tiu punkto,
*la pligrandiĝo de la funkcio je ''x'' egalas la valoron de la funkcio je ''x'',
*la funkcio solvas la [[diferenciala ekvacio|diferencialan ekvacion]]:   <math>y'=y \ </math>.
<!--
*''exp'' estas fiksa punkto de derivaĵo kiel [[Funkcionalo (matematiko)|funkcionalo]]
-->

Fakte, multaj diferencialaj ekvacioj elkovi eksponentajn funkciojn, inkluzivantaj la [[Ekvacio de Schrödinger|ekvacion de Schrödinger]] kaj la [[Laplaca ekvacio|laplacan ekvacion]], kaj ankaŭ la ekvaciojn pri [[Simpla vibra movo|simpla harmona delokigo]].

Pri eksponentaj funkcioj per aliaj bazoj:

: <math>{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x \, ;</math>
tial ''ĉiu'' eksponenta funkcio egalas la produton de sia propra derivaĵo per [[konstanto]].

Do se kreskanta aŭ malkreskanta deklivo estas [[Proporcio|proporcia]] kun ĝia amplitudo — tiel estas la kazo de senfina loĝantara kresko (vidu [[novmaltusanismo]], de fruktuzanta [[kapitalo]] per kontinua [[interezo]], aŭ de [[radioaktiveco|radioaktiva]] kadukiĝo — tiam la [[variablo]] povas esti skribita kiel produto de konstanto kun eksponenta funkcio de tempo.

Sed pli ĝenerale, por ĉiu diferencialebla funkcio ''f(x)'':

: <math>{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)} \, .</math>

==Formala difino==
[[Dosiero:Exp series.gif|eta|dekstre|250px|La eksponenta funkcio (blua kurbo), kaj la sumo de la unuaj termoj ''n''&nbsp;+&nbsp;1 de la potencoserio (ruĝa kurbo).]]
La eksponenta funkcio e<sup>''x''</sup> povas esti difinita diversmaniere, ekzemple per senfina [[serio (matematiko)|serio]]. Aparte ĝi povas esti difinita per [[potenco (matematiko)|potenco]][[serio]]:

: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>

aŭ per la [[limigo de vico]]:

: <math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.</math>
<!--
En ĉi tiuj (difinoj, difinas), <math>n!</math> staras por la [[faktorialo]] de ''n'', kaj ''x'' povas esti (ĉiu, iu) [[reela nombro]], [[kompleksa nombro]], ero de [[Banaĥa algebro]] (ekzemple, kvadrata matrico), aŭ membro de la kampo de ''p''-_adic_ nombroj.

Por plui ekspliko de ĉi tiuj (difinoj, difinas) kaj pruvo de ilia ekvivalento, vidi la artikolo (Difinoj, Difinas) de la eksponenta funkcio.
-->

==Cifereca valoro==

Por ricevi la ciferecan valoron de la eksponenta funkcio, la [[malfinio|malfinia]] [[serio]] povas esti reskribita tiel :

:<math>e^x = {1 \over 0!} + x \, \left( {1 \over 1!} + x \, \left( {1 \over 2!} + x \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)</math>
:<math>= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)</math>

Ĉi tiu esprimo konverĝos rapide, se oni povas certiĝi ke ''x'' valoro estas malpli ol unu.

Dank'al ĉi tiu certiĝo, por pli altaj valoroj de ''x'', oni povas uzi jenan identon:

:{|
|-
|<math>e^x\,</math>
|<math>=e^{z+f}\,</math>
|-
|
|<math>= e^z \times \left[ {1 \over 0!} + f \, \left( {1 \over 1!} + f \, \left( {1 \over 2!} + f \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)\right] \ ,</math>
|}

* kie <math>z</math> estas la entjera parto de <math>x</math>,
* kie <math>f</math> estas la frakcia parto de <math>x</math> (<math>f </math> valoro estas ĉiam malpli ol 1),
* de ĉi tie <math>f</math>  plus <math>z</math> egalas al <math>x</math>.

La valoro de la konstanto e<sup>z</sup> povas esti kalkulita antaŭe per kalkulo de e kun [[potenco (matematiko)|eksponento]] z.

==Sur la kompleksa ebeno==

Konsiderante funkciojn sur la [[Kompleksa nombro|kompleksa ebeno]], oni retenas ĉi tiajn gravajn proprecojn pri la eksponenta funkcio:
: <math>\!\, e^{z + w} = e^z e^w</math>
: <math>\!\, e^0 = 1</math>
: <math>\!\, e^z \ne 0</math>
: <math>\!\, {d \over dz} e^z = e^z</math>
por ĉiuj ''z'' kaj ''w''.

Ĝi estas [[holomorfa funkcio]] kiu estas perioda kun [[Imaginara parto|imaginara]] periodo <math>2 \pi i</math>, kaj povas esti skribita tiel
: <math>\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b) \, ,</math>
kie ''a'' kaj ''b'' estas reelaj valoroj. Ĉi tiu formulo trakonektas la eksponentan funkcion kun la [[Trigonometria funkcio|trigonometriaj funkcioj]] kaj al la [[Hiperbola funkcio|hiperbolaj funkcioj]]. Tial ni vidas ke ĉiuj [[Elementa funkcio|elementaj funkcioj]], krom la [[Polinomo|polinomoj]], permesas eksprimi la eksponentajn funkciojn.

Vidu ankaŭ jenon: [[Eŭlera formulo]].

Etendanta la [[natura logaritmo|naturan logaritmon]]  al kompleksaj argumentoj (<math>ln(z)</math>), oni povas tiam difini pli ĝeneralan potencigon:
: <math>\!\, z^w = e^{w \ln z}</math>
por ĉiuj kompleksaj nombroj ''z'' kaj ''w''. 

Ĉi tiu estas vera ankoraŭ pri ne nur kompleksaj nombroj, sed ankaŭ pri funkcioj. La pli supre eksponentaj funkciaj leĝoj veras, kiam oni interpretas pozitive tiujn formulojn pri diversaj funkcioj kiel argumentoj. Tamen ĝenerale, la regulo pri la multipliko  de pozitivaj reelaj eksponentoj ne validas:
: <math>\,\!\, (e^z)^w \ne e^\left(z w\right) \, .</math>

La eksponenta funkcio konvertas ĉiun [[rekto]]n en la kompleksa ebeno al [[Logaritmo|logaritma]] [[spiralo]] en la kompleksa ebeno kun la centro je la fonto. Notindaj estas du kazoj: rekto paralela kun la reala akso kondukas al [[duonrekto]], aŭ rekto paralela kun la imaginara akso  transformiĝas al [[cirklo]].
<!--
== Matricoj kaj Banaĥaj algebroj ==

La difino de la eksponenta funkcio donita pli supre povas esti uzita laŭvorte por ĉiu [[Banaĥa algebro]], kaj en aparta por kvadrataj [[Matrico|matricoj]] (en kiu (kesto, okazo) la funkcio estas (nomita, vokis) la [[matrica eksponenta funkcio]]). En ĉi tiu (kesto, okazo) ni havi
: <math>\ e^{x + y} = e^x e^y \mbox{ if } xy = yx</math>
: <math>\ e^0 = 1</math>
: <math>\ e^x</math> estas inversigebla kun inverso <math>\ e^{-x}</math>
: la derivaĵo de <math>\ e^x</math> je la punkto <math>\ x</math> estas (tiu, ke, kiu) lineara surĵeto kiu sendas <math>\ u</math> al <math>\ ue^x</math>.

En la ĉirkaŭteksto de ne-komutaj Banaĥaj algebroj, kiel (algebroj, algebras) de matricoj aŭ (operatoroj, operatoras) sur [[Banaĥa spaco|Banaĥo]] aŭ [[Hilberta spaco|Hilbertaj]] spacoj, la eksponenta funkcio estas ofte (konsiderita, konsideris) kiel funkcio de (reala, reela) argumento:
: <math>\ f(t) = e^{t A}</math>
kie ''A'' estas (fiksita, neŝanĝebligita) ero de la algebro kaj ''t'' estas (ĉiu, iu) reela nombro. Ĉi tiu funkcio havas la gravaj propraĵoj
: <math>\ f(s + t) = f(s) f(t)</math>
: <math>\ f(0) = 1</math>
: <math>\ f'(t) = A f(t)</math>

== Sur (Mensogi, Kuŝi) (algebroj, algebras) ==
La "eksponenta funkcia surĵeto" sendanta (Mensogi, Kuŝi) algebro al la [[Grupo de Lie]] (tiu, ke, kiu) donis pligrandiĝo al ĝi (kotizoj, kotizas, kvotoj, kvotas, akcioj, akcias, komunigas, partoj, partas) la pli supre propraĵoj, kiu eksplikas la terminologio. Fakte, ekde '''R''' estas la (Mensogi, Kuŝi) algebro de la Grupo de Lie de ĉiuj pozitivaj reelaj nombroj kun multipliko, la ordinara eksponenta funkcio por (reala, reela) (argumentoj, argumentas) estas speciala okazo de la (Mensogi, Kuŝi) algebra situacio. Simile, ekde la (Mensogi, Kuŝi) algebro M(''n'', '''R''') de ĉiu kvadrato (reala, reela) matricoj apartenas al la Grupo de Lie de ĉiuj inversigeblaj kvadrataj matricoj, la eksponenta funkcio por kvadrataj matricoj estas speciala okazo de la (Mensogi, Kuŝi) algebra [[eksponenta funkcia surĵeto]].
-->
==Duopa eksponenta funkcio==
La termino '''''duopa eksponenta funkcio''''' povas havi du signifojn:
*funkcio kun du malsamaj eksponentaj argumentoj, laŭ la signo de la eksponento,
*funkcio <math>f(x) = a^{a^x}</math>; ĉi tiu kreskas pli rapide ol eksponenta funkcio; ekzemple, se ''a'' = 10: ''f''(−1) = 1.26, ''f''(0) = 10, ''f''(1) = 10<sup>10</sup>, ''f''(2) = 10<sup>100</sup> = [[guglo]], ''f''(3) = 10<sup>1000</sup>, ..., ''f''(100) = [[gugloplekso]].

[[Faktorialo|Faktoriala funkcio]] kreskas pli rapide ol '''''eksponenta funkcio''''', sed malrapide ol '''''duopa eksponenta funkcio'''''.

== Vidu ankaŭ ==
* [[Eksponenta funkcia kresko]]
* [[Eksponenta malkresko]]
* [[Faktorialo]]
* [[Potenco (matematiko)|Potencigo]]
* [[Listo de eksponentaj funkciaj temoj]]
* [[Duopa eksponenta funkcio]]
* [[Supereksponenta funkcio]]
* [[Integrala eksponenta funkcio]]

== Eksteraj ligiloj ==
* [http://www-math.mit.edu/daimp/ComplexExponential.html Interaktiva vidigo de eksponencialo kun kompleksa argumento]


{{komentitaj partoj}}

[[Kategorio:Kompleksa analitiko]]
[[Kategorio:Matematiko]]
[[Kategorio:Specialaj funkcioj]]
[[Kategorio:Supergeometriaj funkcioj]]