Vidi fonton por Kvadrata averaĝo

En [[matematiko]], la '''radiko de averaĝo de kvadrato''' aŭ '''kvadrata averaĝo''', estas [[statistiko|statistika]] mezuro de la [[grandeco (matematiko)|grandeco]] de varianta kvanto. Ĝi estas aparte utila kiam la [[stokasta variablo]] estas pozitiva kaj negativa.

Ĝi povas esti kalkulita por serio de diskretaj valoroj aŭ por kontinue varianta [[funkcio (matematiko)|funkcio]]. Kiel la nomo sugestas, ĝi estas la [[kvadrata radiko]] de [[averaĝo]] de [[kvadrato (algebro)|kvadratoj]] de la valoroj. Ĝi estas speciala okazo de la [[ĝeneraligita meznombro]] kun la eksponento 2.

La radiko de averaĝo de kvadrato de kolekto de ''n'' nombroj ''{x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>}'' estas

: <math> x_{ka} = \sqrt {\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt {\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} {n} } </math>

Ekzemple, la radiko de averaĝo de kvadrato de kolekto de nombroj 2, 5, 2, 7 estas

: <math> \sqrt{\frac{2^2 + 5^2 + 2^2 + 7^2}{4} } \approx 4,53 </math>

La radiko de averaĝo de kvadrato de funkcio ''f(t)'' super intervalo ''[T<sub>1</sub>, T<sub>2</sub>]'' estas

: <math> \sqrt {\frac{1}{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} (f(t))^2\, dt} </math>

La radiko de averaĝo de kvadrato de funkcio ''f(t)'' super la ĉiuj reelaj argumentoj estas

: <math> \lim_{T\rightarrow \infty} \sqrt {\frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} (f(t))^2\, dt} </math>

La radiko de averaĝo de kvadrato super ĉiuj reelaj argumentoj de [[perioda funkcio]] estas egala al la radiko de averaĝo de kvadrato super unu [[periodo]] de la funkcio kaj egalas al

: <math> \sqrt {\frac{1}{T} \int_{0}^{T} (f(t))^2\, dt} </math>

kie ''T'' estas la periodo

== Interrilato al la aritmetika meznombro kaj la norma diferenco ==

Se <math>\bar{x}</math> estas la [[averaĝo]] kaj <math>\sigma_{x}</math> estas la [[norma diferenco]] ([[varianca devio]]) de [[statistika loĝantaro]] tiam por la radiko de averaĝo de kvadrato ''x<sub>ka</sub>'' estas idento

: <math> x_{ka}^2 = \bar{x}^2 + \sigma_{x}^2 </math>

Tiel radiko de averaĝo de kvadrato estas ĉiam pli granda ol aŭ egala al la averaĝo.

Fizikistoj iam uzas la terminon "radiko de averaĝo de kvadrato" kiel sinonimo por [[norma diferenco]] ([[varianca devio]]) kiam temas pri dekliniĝo de signalo de donita baza linio.

== Radiko de averaĝo de kvadrato de iuj funkcioj<ref>{{Cite journal
|last = Cartwright|first = Kenneth V|title = ''Determining the Effective or RMS Voltage of Various Waveforms without Calculus|journal = Technology Interface'' ''(Difinado de la efika aŭ kvadrata averaĝo tensio de diversaj ondformoj sen kalkulo)''|volume = 8|issue = 1|pages = 20 paĝoj|date = 2007|url = http://tiij.org/issues/issues/fall2007/30_Cartwright/Cartwright-Waveforms.pdf|language = angle|format = PDF}}</ref> ==

{| class="wikitable"
! colspan=2 | Funkcio
! Radiko de averaĝo de kvadrato
|-
| [[Sinuso (matematiko)|Sinusa funkcio]]
| <math> a\sin(2\pi ft+b) </math>
| <math> \frac{a}{\sqrt{2} } </math> <br> ne dependas de ''b''
|-
| [[Ortangula ondo]]
| <math> \begin{cases}a & ((ft) mod 1) < \frac{1}{2} \\ -a & ((ft) mod 1) > \frac{1}{2} \end{cases} </math>
| <math> {a} </math>
|-
| Triangula ondo
|
| <math> \frac{a}{\sqrt{3} } </math>
|-
| Modifita ortangula ondo
| <math> \begin{cases}0 & ((ft) mod 1) < \frac{b}{2} \\ a & \frac{b}{2} < ((ft) mod 1) < \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} < ((ft) mod 1) < \frac{b+1}{2} \\ -a & ((ft) mod 1) > \frac{b+1}{2} \end{cases} </math>
| <math> {a}{\sqrt{1-b} } </math>
|}

kie ''t'' estas la sendependa variablo;
: ''f'' estas frekvenco;
: ''a'' estas [[amplitudo]] (kulmina valoro);
: ''b'' estas parametro de formo;
: ''mod'' estas la [[modula operacio]] ([[restaĵo]] de [[divido]]).

En ĉiuj okazoj la radiko de averaĝo de kvadrato ne dependas de la frekvenco ''f''.

== Uzoj ==

=== Averaĝa elektra povumo ===

[[Dosiero:Sine voltage.svg|eta|Sinusa funkcio. <br> 1 [[amplitudo]], <br> 2 [[kresto]]-kresta amplitudo,<br>3 kvadrata averaĝo, <br> 4 [[periodo]].]]

Varma [[povumo]] ''P'' eligita per elektra [[rezistilo]] de [[rezistanco]] ''R'' tra kiu flua [[elektra kurento]] ''I'' estas

: ''P = I<sup>2</sup> R''

Se la kurento estas funkcio de tempo ''I(t)'' tiam ankaŭ la povumo funkcio de tempo

: ''P(t) = (I(t))<sup>2</sup> R''

La averaĝa povumo dum iu tempodaŭro tiam estas integralo de ''P(t)'' dividita je la daŭro

: <math> P_a = \frac{1}{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} P(t)\, dt = {1 \over {T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} (I(t))^2R\, dt} </math>

''R'' ne dependas de ''t'' kaj do povas esti eligita el la integralo kiel konstanta faktoro

: <math> P_a = R \frac{1}{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} (I(t))^2\, dt </math>

Nun oni prenu kvadraton de kvadrata radiko de la integralo, la rezulto tiam ne ŝanĝiĝas

: <math> P_a = R{\sqrt{\frac{1}{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} (I(t))^2\, dt} }^2</math>

Nun la radiko estas radiko de averaĝo de kvadrato de la kurento super la daŭro

: <math> I_{ka} = \sqrt{\frac{1}{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} (I(t))^2\, dt }</math>

Kaj la formulo por averaĝa povumo povas esti skribita kiel

: ''P<sub>a</sub> = I<sub>ka</sub><sup>2</sup> R''

Ĉi tio aparte utilas se la kurento ''I(t)'' estas perioda, unuavice la sinusa [[alterna kurento]]. Por sinusa alterna kurento <math>I_{ka}=\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}</math> kie I<sub>max</sub> estas la [[amplitudo|amplituda]] valoro (kulmina valoro, momenta maksimuma absoluta valoro).

Simila rezulto okazas se konsideri [[elektra tensio|tension]] je la rezistilo

: ''P = V<sup>2</sup> / R''

Se la tensio estas funkcio de tempo ''V(t)'' tiam ankaŭ la povumo funkcio de tempo

: ''P(t) = (V(t))<sup>2</sup> / R''

Kaj la averaĝa povumo estas

: ''P<sub>a</sub> = V<sub>ka</sub><sup>2</sup> / R''


Por [[alterna kurento]], ĝuste la radiko de averaĝo de kvadrato de kurento kaj tensio estas uzata kiel la ĉefa priskriba valoro. En ĉi tiu okazo la radiko de averaĝo de kvadrato de kurento aŭ tensio estas nomata kiel ĝia '''efika valoro''', ĉar ĝi priskribas la povuman efikon. La amplituda valoro estas je [[kvadrata radiko de 2]] (proksimume 1,41) fojoj pli granda. Tiel ekzemple, tensio 230 [[Volto|V]] de alterna kurento havas la amplitudan valoron de proksimume 325 V.

=== Radiko de averaĝo de kvadrato de rapido ===

En [[fiziko]], la '''radiko de averaĝo de kvadrato de rapido''' estas parametro de moviĝo de molekuloj de [[gaso]]. Ĉe [[ideala gaso]] ĝi egalas

: <math> v_{ka} = \sqrt{\frac{3RT}{M} } </math>

kie ''R'' ≈ 8,314 [[Ĵulo|J]] [[Kelvino|K]]<sup>−1</sup> [[molo|mol]]<sup>−1</sup> estas la [[ideala kasa konstanto]];
: ''T'' estas [[temperaturo]] de la gaso;
: ''M'' estas [[molmaso]] de la gaso.

Vidu ankaŭ en [[distribuo de Maxwell-Boltzmann]].

== Vidu ankaŭ ==

* [[Norma diferenco]]
* [[Varianca devio]]
* [[Meznombra kvadratigita eraro]]
* [[Meznombro]]
* [[Ĝeneraligita meznombro]]
* [[L2 normo]]
* [[Plej malgrandaj kvadratoj]]

== Referencoj ==
{{Referencoj}}

== Eksteraj ligiloj ==
* [http://www.easycalculation.com/statistics/root-mean-square.php Kalkulilo de radiko de averaĝo de kvadrato]
* [http://www.hifi-writer.com/he/misc/rmspower.htm Okazo kiam radiko de averaĝo de kvadrato estas misnomo kiam aplikita al aŭda povo]
* [http://www.opamp-electronics.com/tutorials/measurements_of_ac_magnitude_2_01_03.htm Radiko de averaĝo de kvadrato, amplituda kaj averaĝa por iuj ondformoj]
* [http://phy.hk/wiki/englishhtm/Rms.htm Java apleto pri radiko de averaĝo de kvadrato]
* [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-db-volt.htm]
* [http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/waswenn/default.htm]

[[Kategorio:Statistiko]]