Vidi fonton por Mediano (statistiko)

En la [[probablokalkulo|teorio de probabloj]] kaj [[statistiko]], '''mediano''' estas la nombro apartiganta la pli altan duonon de specimeno, loĝantaro, aŭ [[probablodistribuo]] de la suba duono. La ''mediano'' de finia listo de nombroj estas trovata per ordigo de ĉiuj nombroj ekde la plej malgranda al la plej granda kaj preno de la meza nombro. Se estas [[para nombro|para]] kvanto de nombroj, la mediano ne estas unika, tiel oni ofte prenas la [[meznombro]]n de la du mezaj valoroj.

:Ekzemplo: X<Y<Z: mediano (X, Y, Z) = Y
:Ekzemplo: W<X<Y<Z: mediano (W, X, Y, Z) = meznombro (X, Y) = (X+Y)/2

El tio rezultas, ke maksimume duono de la loĝantaro havas valorojn malpli grandaj ol la ''mediano'' kaj maksimume duono de la loĝantaro havas valorojn pli grandaj ol la mediano. Se ambaŭ grupoj enhavas malpli ol duonon de la loĝantaro, tiam iu ero el la loĝantaro estas akurate egala al la mediano mem.

== Diferenco de meznombro ==

La diferenco inter la mediano kaj la [[meznombro]] estas ilustrita en ĉi tiu simpla ekzemplo:

:Estu nombroj 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
:Tiam la meznombro estas 4 kaj la mediano estas 4.

:Estu nombroj 1, 2, 3, 4, 5, 6, 994.
:Tiam la meznombro estas 145, la mediano estas 4.

:Estu nombroj 1, 994, 3, 4, 5, 6, 7.
:Tiam la meznombro estas ≈145,7, la mediano estas 5.

Do apero de la nombro 994, multe pli granda ol ĉiuj la aliaj, ne ŝanĝas la medianon aŭ ŝanĝas ĝin malmulte, dum kiam la meznombro ŝanĝiĝas multe.

<span style="color:gray; font-style:italic;">Ekzemplo de ties apliko estas kazo, kie oni volas fari eldiron pri la mezuma salajro de la enloĝantoj de malgranda vilaĝo. Se ĉiuj estas normalsalajritaj laboristoj, la meznombro havas sencon kaj povas bone reprezenti la situacion. Tamen se nun hazarde unu milionulo kun laŭaj enspezoj transloĝiĝos al la vilaĝo, la afero subite aspektos alie. Ĉi-kaze la meznombo ege grandiĝos kaj de praktika ĉiutaga vidpunkto apenaŭ plu rilatas al la salajroj de la plejmultaj loĝantoj de la vilaĝo. Kontraste, la mediano havos pli da senco, ĉar la milionulo ne plu samgrade tiros la valoron de la mediano kvazaŭ al si. Ĝi estas ĉi-sence pli stabila kaj estas malpli influata de kelkaj malmultaj ekstremvaloroj.</span>

== Mediano de probablodistribuo ==

Por ĉiu [[probablodistribuo]] sur la [[reela nombro|reela]] linio kun [[distribuo]] ''F'', sendistinge de tio ĉu ĝi estas ajna kontinua probablodistribuo, en aparta [[absoluta kontunueco|absolute kontinua distribuo]] (kaj pro tio estas [[probablodensa funkcio]]), aŭ diskreta probablodistribuo, mediano ''m'' kontentigas la neegalaĵojn

:<math>\operatorname{P}(X\leq m) \geq \frac{1}{2} \quad\land\quad \operatorname{P}(X\geq m) \geq \frac{1}{2}\,\!</math>

aŭ

:<math>\int_{-\infty}^m \mathrm{d}F(x) \geq \frac{1}{2} \quad\land\quad \int_m^{\infty} \mathrm{d}F(x) \geq \frac{1}{2}\,\!</math>

en kiu [[integralo de Rimano-Stieltjes]] estas uzata. Por absolute kontinua probablodistribuo kun [[probablodensa funkcio]] ''f'':

:<math>\operatorname{P}(X\leq m) = \operatorname{P}(X\geq m)=\int_{-\infty}^m f(x)\, \mathrm{d}x=0.5.\,\!</math>

Medianoj de certaj specoj de distribuoj povas esti facile taksitaj de iliaj parametroj
: Mediano de [[normala distribuo]] kun meznombro ''μ'' kaj [[varianco]] ''σ<sup>2</sup>'' estas ''μ''. Por normala distribuo, meznombro = mediano = reĝimo.
: Mediano de [[uniforma distribuo]] en la intervalo ''[a, b]'' estas ''(a + b) / 2'', kiu estas ankaŭ la meznombro.
: Mediano de [[koŝia distribuo]] kun situa parametro ''x<sub>0</sub>'' kaj skala parametro ''y'' estas ''x<sub>0</sub>'', la situa parametro.
: Mediano de [[eksponenta funkcia distribuo]] kun [[kurza parametro]] <math>\lambda</math> estas la natura logaritmo de 2 dividita per la kurza parametro: <math>\ln 2 /\lambda</math>.
: Mediano de [[distribuo de Weibull]] kun forma parametro ''k'' kaj ''skala parametro'' <math>\lambda</math> estas <math>\lambda (\ln 2)^{1/k}</math>.

== Mediano en priskriba statistiko ==

La mediano estas uzata ĉefe por [[nesimetzrio (statistiko)|nesimetriaj]] [[distribuo]]j, kiujn ĝi prezentas signife malsame ol la [[aritmetika meznombro]]. Ekzemple estu [[multaro]] { 1, 2, 2, 2, 3, 9 }. La mediano estas 2 en ĉi tiu okazo, kia estas la [[reĝimo (statistiko)|reĝimo]], kaj ĝi povus vidiĝi kiel pli bona pritakso de [[centra dispozicio]] ol la aritmetika meznombro, kiu estas 3,166… .

== Proprecoj ==

=== Optimumeca propreco ===

La mediano estas ankaŭ la centra punkto kiu minimumigas la averaĝan de la [[absoluta devio|absolutaj devioj]]; en la ekzemplo pli supre ĉi tiu devus esti (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7) / 6 = 1.5 uzante la medianon, dum ĝi devus esti 1,944 uzante la meznombron. En la lingvo de teorio de probabloj, la valoro de ''c'' kiu minimumigas na

:<math>E(\left|X-c\right|)\,</math>

estas la mediano de la probablodistribuo de la [[hazarda variablo]] ''X''. Noto tamen ke ''c'' estas ne ĉiam unika, kaj pro tio ne estas bone difinita ĝenerale.

=== Neegalaĵo pri meznombro kaj mediano ===

Por kontinua probablodistribuo, la diferenco inter la mediano kaj la meznombro estas malpli granda ol aŭ egala al [[norma diferenco]]. Vidu en [[neegalaĵo pri lokaj kaj skalaj parametroj]].

== Kalkulado ==

Kvankam [[ordiga algoritmo]] por ''n'' aĵoj prenas ĝenerale ''[[Granda O skribmaniero|O]](n log n)'' operaciojn, per uzo de [[divida kaj rega algoritmo]] la mediano de ''n'' aĵoj povas esti komputita per nur ''O(n)'' operacioj. Oni povas trovi la ''k''-an ero de listo de valoroj per ĉi tiu maniero; ĉi tio estas la [[elektada algoritmo]].

== Vidu ankaŭ ==
* [[Absoluta devio]]
* [[Mediana filtrilo]]
* [[Elektada algoritmo]]
* [[Neegalaĵo pri lokaj kaj skalaj parametroj]]
* [[Aritmetika meznombro]]
* [[Geometria meznombro]]
* [[Harmona meznombro]]
* [[Kvadrata averaĝo]]
* [[Reĝimo (statistiko)]]
* [[Mediano (geometrio)]]

== Eksteraj ligiloj ==
* [http://mathworld.wolfram.com/StatisticalMedian.html Statistika mediano] je MathWorld
* {{Planetmath|id=5900|titolo=Mediano de distribuo}}
* [http://www.stats4students.com/Essentials/Measures-Central-Tendency/Overview_2.php Mediano]
* [http://economicsbulletin.vanderbilt.edu/2004/volume3/EB-04C10011A.pdf Mediano kiel pezita aritmetika meznombro de ĉiuj observoj]
* [http://www.poorcity.richcity.org/cgi-bin/inequality.cgi Surlinia kalkulilo]
* [http://www.statcan.ca/english/edu/power/ch11/median/median.htm Kalkulado de la mediano]
* [http://mathschallenge.net/index.php?section=problems&show=true&titleid=average_problem A Problemo engaĝanta meznombron, medianon kaj reĝimon.]

[[Kategorio:Statistiko]]
[[Kategorio:Ne-linearaj filtriloj]]
[[Kategorio:Signal-prilaborado]]
[[Kategorio:Prilaboro de bildoj]]