Vidi fonton por Polariza idento

En [[matematiko]], '''polariza idento''' estas [[idento (matematiko)|idento]] kun eroj de [[normigita spaco|normigita]] [[vektora spaco]] super la [[reela nombro|reelaj nombroj]] kies [[normo (matematiko)|normo]] estas difinita per ĝia [[ena produto]]. Tiam por ĉiuj eroj de la spaco ([[vektoro]]j) ''x'' kaj ''y''

: ''||x + y||<sup>2</sup> = ||x||<sup>2</sup> + ||y||<sup>2</sup> + 2 <x, y>'' &ensp; (1)

Ĉi tiu idento estas analoga al la formulo por la kvadrato de dutermo:

: ''(x + y)<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + 2xy'' &ensp; (2)

== Konsekvencoj ==

Se ''y'' en ekvacio (1) estas anstataŭigita per ''-y'' la rezulto estas

: ''||x - y||<sup>2</sup> = ||x||<sup>2</sup> + ||y||<sup>2</sup> - <x, y>'' &ensp; (3)

kiu respektivas al la [[kosinusa leĝo]] kaj estas analoga al ekvacio (2) kun ''y'' anstataŭigita per ''-y'':

: ''(x - y)<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> - 2xy'' &ensp; (4)

Kunadicio de ekvacioj (1) kaj (3) rezultas je

: ''||x + y||<sup>2</sup> + ||x - y||<sup>2</sup> = 2||x||<sup>2</sup> + 2||y||<sup>2</sup>''

kiu respektivas al la [[paralelograma leĝo]] kaj estas analoga al la sumo de ekvacioj (2) kaj (4):

: ''(x + y)<sup>2</sup> + (x - y)<sup>2</sup> = 2x<sup>2</sup> + 2y<sup>2</sup>''

Subtraho de (1) kaj (3) rezultas je

: ''||x + y||<sup>2</sup> - ||x - y||<sup>2</sup> = 4<x, y>''

kaj do

:<math>\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)</math>

=== Vektora spaco super kompleksaj nombroj ===

Polariza idento en vektora spaco super la [[kompleksaj nombroj]] donas esprimon por la ena produto

:<math>\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 - i\|x-iy\|^2)</math>

kaj por ĝia [[reela parto]] kaj [[imaginara parto]] aparte

:<math>\operatorname{Re} \langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)</math>
:<math>\operatorname{Im} \langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2)</math>

== Pruvo ==

Estu la [[normo]] de vektoro difinita kiel la [[kvadrata radiko]] de la [[ena produto]] de vektoro kun si

: <math> \|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle} \qquad \qquad (5)</math>

Nun trovu la enan produton de ''x + y'' kun sin. Per [[distribueco]] de la unua faktoro kun respekto al la sumo en la dua faktoro, kio estas pro lineareco de la ena produto, rezultas

: ''<x + y, x + y> = <x + y, x> + <x + y, y>''

Plu per distribueco de la duaj faktoroj kun respekto al la sumoj en la unuaj faktoroj rezultas

: ''<x + y, x + y> = <x, x> + <y, x> + <x, y> + <y, y>''

kaj pro tio ke la ena produto estas [[komuteco|komuta]] ''<y, x> = <x, y>'' kaj do

: ''<x + y, x + y> = <x, x> + 2<x, y> + <y, y>''

Per la difino de normo (5), de ĉi tie rezultas la polariza idento.

[[Kategorio:Funkcionala analitiko]]
[[Kategorio:Matematikaj identoj]]